Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為2，點B₁在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在AC邊的中點O處．
（1）求點A到平面BCC₁B₁的距離；
（2）棱BB₁上是否存在點P，使得二面角P-AC-B的大小為60°？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以O(shè)為原點，OB，OC，OB₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點A到平面BCC₁B₁的距離．
（2）若存在滿足條件的點P，設(shè)

BP

=λ

BB1

，（0＜λ＜1），則P(

3

(1-λ)，0，λ)，分別求出平面PAC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出存在滿足條件的點P．

解答： 解：（1）以O(shè)為原點，OB，OC，OB₁分別為x，y，z軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（

3

，0，0），
C（0，1，0），B₁（0，0，1），
∴

BC

=(-

3

，1，0)，

CB1

=(0，-1，1)，
設(shè)平面BCC₁B₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BC =- 3 x+y=0 n • CB1 =-y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，

3

），

AB

=（

3

，1，0），
則點A到平面BCC₁B₁的距離為：
||

AB

|cos＜

AB

，

n

＞|=

| AB • n |

| n |

=

2 21

7

．
（2）若存在滿足條件的點P，設(shè)

BP

=λ

BB1

，（0＜λ＜1），
則P(

3

(1-λ)，0，λ)，
設(shè)平面PAC的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），

AP

=(

3

(1-λ)，1，λ)，

CP

=(

3

(1-λ)，-1，λ)，
由

m • AP = 3 (1-λ)x1+y1+λz1=0 m • CP = 3 (1-λ)x1-y1+λz1=0

，
取x₁=1，得

m

=（1，0，-

3 (1-λ)

λ

），
平面ABC的法向量

k

=(0，0，1)，
∵二面角P-AC-B的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

m

，

k

＞|=|

| 3 (1-λ) λ |

1+(- 3 (1-λ) λ )2

|=

1

2

，
解得λ=

1

4

，
∴BB₁上存在點P，且BP=

1

4

BB₁，使得二面角P-AC-B的大小為60°．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．