Question

16．我校為進(jìn)行“陽光運(yùn)動(dòng)一小時(shí)”活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S（平方米）的矩形AMPN健身場(chǎng)地．如圖，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在AB上，且P點(diǎn)在斜邊BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．設(shè)矩形AMPN健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為$\frac{37k}{{\sqrt{S}}}$元，再把矩形AMPN以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}$元（k為正常數(shù)）．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）求總造價(jià)T關(guān)于面積S的函數(shù)T=f（S）；
（3）如何選取|AM|，使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）．

Answer 1

分析 （1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面積$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得值域；
（2）由三角形的面積和題意可得總造價(jià)T=T₁+T₂，即可得到所求；
（3）運(yùn)用基本不等式，計(jì)算即可得到所求x=12或18．

解答 解：（1）在Rt△PMC中，顯然|MC|=30-x，∠PCM=60°，
∴$|PM|=|MC|•tan∠PCM=\sqrt{3}（30-x）$，
矩形AMPN的面積$S=|PM|•|MC|=\sqrt{3}x（30-x）$，x∈[10，20]，
由x（30-x）≤（$\frac{x+30-x}{2}$）²=225，當(dāng)x=15時(shí)，可得最大值為225$\sqrt{3}$，
當(dāng)x=10或20時(shí)，取得最小值200$\sqrt{3}$，
于是$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$為所求．
（2）矩形AMPN健身場(chǎng)地造價(jià)T₁=$37k\sqrt{S}$，
又△ABC的面積為$450\sqrt{3}$，即草坪造價(jià)T₂=$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}（450\sqrt{3}-S）$，
由總造價(jià)T=T₁+T₂，
∴$T=25k（\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}）$，$200\sqrt{3}≤S≤225\sqrt{3}$．
（3）∵$\sqrt{S}+\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}≥12\sqrt{6\sqrt{3}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{S}=\frac{{216\sqrt{3}}}{{\sqrt{S}}}$即$S=216\sqrt{3}$時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)$\sqrt{3}x（30-x）=216\sqrt{3}$，解得x=12或x=18，
答：選取|AM|的長為12米或18米時(shí)總造價(jià)T最低．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域和最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．