Question

【題目】如圖，地到火車(chē)站共有兩條路徑，據(jù)統(tǒng)計(jì)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的的頻率如下表：

時(shí)間（分鐘）
的頻率
的頻率

現(xiàn)甲、乙兩人分別有分鐘和分鐘時(shí)間用于趕往火車(chē)站.

（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車(chē)站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？

（2）用表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車(chē)站的人數(shù)，針對(duì)（1）的選擇方案，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）甲應(yīng)選擇路徑，乙應(yīng)選擇路徑；（2）分布列見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）用表示事件“甲選擇路徑時(shí)，分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，表示事件“乙選擇路徑時(shí)，分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，、，計(jì)算出、、、，并比較、的大小，、的大小，由此可得出結(jié)論；

（2）用、分別表示針對(duì)（1）的選擇方案，甲，乙在各自的時(shí)間內(nèi)搞到火車(chē)站，由（1）知，，可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的數(shù)學(xué)期望.

（1）用表示事件“甲選擇路徑時(shí)，分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，表示事件“乙選擇路徑時(shí)，分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，

用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率，則有：，，

，所以甲應(yīng)選擇路徑；

，，

，所以乙應(yīng)選擇路徑；

（2）用、分別表示針對(duì)（1）的選擇方案，甲，乙在各自的時(shí)間內(nèi)搞到火車(chē)站，

由（1）知，，且、相互獨(dú)立.

由題意可知，隨機(jī)變量的取值是、、，

，

，

.

所以的分布列如下表所示：

所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.