Question

15．用分析法證明：若a，b∈R⁺，a+b=1，則$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

Answer 1

分析 尋找使不等式$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止．

解答 證明：要證$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
只要證（$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$）²≤4，
只要證a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4，
∵a+b=1，
∴即證$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1
只要證ab+$\frac{a+b}{2}$+$\frac{1}{4}$≤1，
即證ab≤$\frac{1}{4}$．
由基本不等式可得a+b=1$≥2\sqrt{ab}$，
∴ab≤$\frac{1}{4}$成立，故原不等式成立．

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，用分析法證明不等式，利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止，屬于中檔題．