Question

17．已知函數(shù)f（x）=2（sinx+m）²-3．
（1）若m=$\frac{1}{2}$，求f（x）的最小值；
（2）若m=2，求f（x）的最小值；
（3）若m∈R，求f（x）的最小值[用m表示，記為g（m）]；
（4）若f（x）的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+$\frac{1}{2}$）²-3，求出對稱軸，可得t=-$\frac{1}{2}$取得最小值；
（2）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+2）²-3，區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，可得最小值；
（3）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+m）²-3，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用單調(diào)性可得最小值；
（4）由（3）可得當(dāng)m≤-1時，2（m+1）²-3=-2，當(dāng)m≥1時，2（m-1）²-3=-2，解方程可得m的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2（sinx+$\frac{1}{2}$）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+$\frac{1}{2}$）²-3，
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$∈[-1，1]，函數(shù)取得最小值-3；
（2）函數(shù)f（x）=2（sinx+2）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+2）²-3，
當(dāng)t=-2∉[-1，1]，[-1，1]為增區(qū)間，
t=-1時取得最小值-1；
（3）函數(shù)f（x）=2（sinx+m）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+m）²-3，
當(dāng)-m≤-1即m≥1時，[-1，1]為增區(qū)間，t=-1時，取得最小值，
且為2（m-1）²-3；
當(dāng)-1＜-m＜1即-1＜m＜1時，函數(shù)在t=-m，取得最小值-3；
當(dāng)-m≥1即m≤-1時，[-1，1]為減區(qū)間，t=1取得最小值，且為2（1+m）²-3．
則g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2（m+1）^{2}-3，m≤-1}\\{-3，-1＜m＜1}\\{2（m-1）^{2}-3，m≥1}\end{array}\right.$；
（4）由（3）可得，
當(dāng)m≤-1時，2（m+1）²-3=-2，解得m=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）；
當(dāng)m≥1時，2（m-1）²-3=-2，解得m=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）．
綜上可得m=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和正弦函數(shù)的值域，以及分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．