Question

1．已知橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且該橢圓與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1焦點相同，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，得到橢圓的焦點坐標(biāo)，利用橢圓的離心率1才a，b，然后求解橢圓的方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1焦點坐標(biāo)（±$\sqrt{5}$，0）．
可得橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
可得a=3，b=2，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
準(zhǔn)線方程為：x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及準(zhǔn)線方程的求法，考查計算能力．