Question

已知f（k）=

1+k2

4k

，當(dāng)k＞0時(shí)，f（k）≥

1

x2-2tx-2

對(duì)?t∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（t）=-2xt+x²-4≥0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，最后結(jié)合一次函數(shù)的知識(shí)即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)k＞0時(shí)f（k）=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

（當(dāng)且當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立）
∴當(dāng)k＞0時(shí)，f（k）≥

1

x2-2tx-2

對(duì)?t∈[-1，1]恒成立，即

1

2

≥

1

x2-2tx-2

對(duì)?t∈[-1，1]恒成立，
亦即x²-2tx-4≥0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
令g（t）=-2xt+x²-4，
∴g（t）=-2xt+x²-4≥0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函數(shù)的性質(zhì)可得g（-1）≥0，g（1）≥0，
∴2x+x²-4≥0，-2x+x²-4≥0
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為x≤-（1+

5

）或x≥1+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，以及恒成立問(wèn)題和基本不等式的運(yùn)用．是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．