Question

【題目】給定個(gè)不同的數(shù)、、、、，它的某一個(gè)排列的前項(xiàng)和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個(gè)不同數(shù)的所有排列對(duì)應(yīng)的之和為．

（1）若，求；

（2）若，.

①證明：對(duì)任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）列出、、的所有排列，求出個(gè)排列中的值，進(jìn)而可求得的值；

（2）①設(shè)個(gè)不同數(shù)的某一個(gè)排列為、、、，求得為奇數(shù)，再由為偶數(shù)可得出結(jié)論；

②由題意可得出，可得出且，考慮排列的對(duì)應(yīng)倒序排列，推導(dǎo)出，由此可得出，再由、、、、這個(gè)不同數(shù)可形成個(gè)對(duì)應(yīng)組合，進(jìn)而可求得的值.

（1）、、的所有排列為、、；、、；、、；、、；、、；、、.

因?yàn)?/span>，所以對(duì)應(yīng)的分別為、、、、、，所以；

（2）（i）設(shè)個(gè)不同數(shù)的某一個(gè)排列為、、、，

因?yàn)?/span>，，所以為奇數(shù)，

而為偶數(shù)，所以不存在使得

（ii）因?yàn)?/span>，即，

又由（i）知不存在使得，

所以；

所以滿足的最大下標(biāo)即滿足①，

且②，

考慮排列的對(duì)應(yīng)倒序排列、、、，

①②即，，

由題意知，則；

又、、、、這個(gè)不同數(shù)共有個(gè)不同的排列，可以構(gòu)成個(gè)對(duì)應(yīng)組合，

且每組中，所以．