Question

已知函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx-

π

6

）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，利用兩角差的正弦公式，將sin（ωx-

π

6

）化簡，然后，結(jié)合三角恒等變換公式，進(jìn)行化簡，最后，結(jié)合周期公式，進(jìn)一步確定ω的值，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）直接利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωxsin（ωx-

π

6

）+1
=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+1
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin（2ωx-

π

6

），
∵函數(shù)f（x）的最小正周期是π，
∴T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，（k∈z）；
（Ⅱ）∵x∈[

π

8

，

3π

8

]，
∴（2x-

π

6

）∈[

π

12

，

7π

12

]，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）∈[

6 - 2

2

，2]，
∴f（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值2，最小值

6 - 2

2

．

點評：本題重點考查了兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．