Question

設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n=kn²+n，n∈N^*，其中k是常數(shù)．若對于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先通過求a₁=S₁求得a₁，進而根據(jù)當n≥2時a_n=S_n-S_n-1求出a_n，驗證可得a_n，（2）根據(jù)a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，可知a_2m²=a_ma_4m，根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項公式，代入化簡即可．

解答： 解：（1）由題意當n=1，a₁=S₁=k+1，
當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
經(jīng)檢驗，n=1時（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，對任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．
故答案為：k=0或k=1．

點評：本題考查數(shù)列等比關(guān)系的確定和求數(shù)列通項公式，屬中檔題．