Question

（本小題滿分15分）某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠，擬在2010年度將進(jìn)行系列促銷活動．經(jīng)市場調(diào)查和測算，該紀(jì)念品的年銷售量x萬件與年促銷費(fèi)用t萬元之間滿足3－x與t+1成反比例．若不搞促銷活動，紀(jì)念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2010年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬元，每生產(chǎn)1萬件紀(jì)念品另外需要投資32萬元．當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價定為：“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)一半”之和時，則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等．(利潤=收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)用)(1)求出x與t所滿足的關(guān)系式；(2)請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)；(3)試問：當(dāng)2010年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）當(dāng)2010年的促銷費(fèi)用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元

(1)　設(shè)比例系數(shù)為k．由題知，有．………………………2分
又…4分　． 5分
　(2) 依據(jù)題意，可知工廠生產(chǎn)x萬件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為萬元，促銷費(fèi)用為t萬元，則每件紀(jì)念品的定價為：()元／件．……………………8分
于是，，進(jìn)一步化簡，得
．……11分
因此，工廠2010年的年利潤萬元．
(3) 由(2)知，
　　　……………15分
所以，當(dāng)2010年的促銷費(fèi)用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．………16分