Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，兩條準線間的距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在另一個橢圓C₁，由橢圓C₁上任意一點引橢圓C的兩條切線，當兩條切線的斜率均存在時，斜率之積恒為-2？若存在，求橢圓C₁的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意得方程組求出即可得橢圓的方程，
（2）先假設存在橢圓C₁，任取其上一點為P（m，n），設過P點的直線斜率為k，得直線方程，代入橢圓C方程得△=0，由韋達定理得k₁•k₂=

8-n2

16-m2

=-2，整理即可求出．

解答： 解：（1）由

b=2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得：

a2=8 b2=4 c2=4

，
∴橢圓C的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）假設存在另一個橢圓C₁，由橢圓C₁上任意一點引橢圓C的兩條切線，
當兩條切線的斜率均存在時，斜率之積恒為-2，
設橢圓C₁上任意一點為P（m，n），設過P點的直線斜率為k，
則有 y=k（x-m）+n，代入（1）中的橢圓方程得：
x²+2[k（x-m）+n]²=8，
整理得：（1+2k²）x²-4k（km-n）x+2（km-n）²-8=0，
∵直線與橢圓只有一個交點，
∴△=[4k（km-n）]²-4（1+2k²）[2（km-n）²-8]=0，
整理得：（16-m²）k²-2mnk+8-n²=0，
∴k₁•k₂=

8-n2

16-m2

=-2，
∴

m2

20

+

n2

40

=1，
∴所求橢圓C₁的方程為：

x2

20

+

y2

40

=1或

x2

40

+

y2

20

=1．
又∵a＞b
∴方程為

x2

40

+

y2

20

=1

點評：本題考查了橢圓的性質，考查直線和橢圓的關系，考查定值問題，韋達定理，是一道綜合題．