Question

16．函數(shù)f（x）=ln（2x）+2x-a（a∈R）．若存在b∈[1，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e+1]
• B． [ln2+1，e+ln2+1]
• C． [e，e+1]
• D． [ln2，e+ln2]

Answer 1

分析 由f（f（b））=b，可得y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，根據(jù)ln（2x）+2x-a=x，（a∈R），化簡(jiǎn)整理得ln2x=-x+a，記F（x）=ln2x，G（x）=-x+a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象，數(shù)形結(jié)合能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
根據(jù)ln（2x）+2x-a=x，（a∈R），化簡(jiǎn)整理得ln2x=-x+a
記F（x）=ln2x，G（x）=-x+a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象，
結(jié)合圖象，得$\left\{\begin{array}{l}{F（1）≤G（1）}\\{F（e）≥G（e）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{ln2≤-1+a}\\{ln（2e）≥-e+a}\end{array}\right.$，解之得1+ln2≤a≤e+1+ln2
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln2+1，e+ln2+1]
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題．