函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≥f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=1-f（x）．則f(
1
6
)=
 
；f(
1
4
)+f(
1
7
)=
 
．
考點：抽象函數(shù)及其應用
專題：計算題,函數(shù)的性質及應用
分析：依題意，可求得f（1）=1，f（
1
3
）=f（
1
2
）=
1
2
，f（
1
6
）=f（
1
9
）=
1
4
，利用f（1-x）+f（x）=1及函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，即可求得答案．
解答： 解：依題意知，f（1-1）=1-f（1）=f（0）=0，
∴f（1）=1；
令1-x=x，得x=
1
2
，
由③f（1-x）=1-f（x）得f（
1
2
）=
1
2
；
∴f（
1
6
）=f（
1
2
3
）=
1
2
f（
1
2
）=
1
4
，
∴f（
5
6
）=
3
4
；
令x=
1
4
，則f（
3
4
）=1-f（
1
4
），
又f（
3
4
3
）=
1
2
f（
3
4
），即f（
1
4
）=
1
2
f（
3
4
）=
1
2
[1-f（
1
4
）]，
∴3f（
1
4
）=1，解得f（
1
4
）=
1
3
；
同理可得：f（
1
3
）=
1
2
，f（
1
9
）=
1
4
，f（
8
9
）=
3
4
；
∵
5
6
＜
6
7
＜
8
9
，f（
5
6
）=f（
8
9
）=
3
4
，函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，
∴f（
6
7
）=
3
4
，故f（
1
7
）=1-
3
4
=
1
4
，
∴f（
1
4
）+f（
1
7
）=
1
3
+
1
4
=
7
12
．
故答案為：
1
4
，
7
12
．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，著重考查賦值法的靈活應用，考查轉化思想與運算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y滿足
2x-y≤0
x-2y+3≥0
x≥0
，則z=log2(x+y+1)的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a2+a8）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）圖中語文成績的眾數(shù)是
 
；
（2）圖中a=
 
；
（3）若80分以上為優(yōu)秀，則語文成績有
 
個人優(yōu)秀；
（4）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=1-x，則關于x的方程f（x）=log9（x+1）解的個數(shù)是
 
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

各棱均為2的正四棱錐的內切球的半徑為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
5
x5-x4-4x3+7的極值點的個數(shù)是（　�。�
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
3
sin4x+(sinx+cosx)2-
3
cos4x
（Ⅰ）求f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，
π
2
]時的值域；
（Ⅲ）在給出的直角坐標系中，請畫出f（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上的圖象（要求列表描點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式x-
2
x+1
≥1的解集為
 
．

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