Question

1．已知P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一點，P與兩焦點的連線互相垂直，且P到兩焦點的距離分別為$2\sqrt{5}，4\sqrt{5}$，則橢圓的方程為$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．

Answer 1

分析 設|PF₁|=2$\sqrt{5}$，|PF₂|=4$\sqrt{5}$，運用橢圓的定義可得a，運用勾股定理可得c，再由a，b，c的關(guān)系可得b，進而得到橢圓方程．

解答 解：設|PF₁|=2$\sqrt{5}$，|PF₂|=4$\sqrt{5}$，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=6$\sqrt{5}$，
可得a=3$\sqrt{5}$，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₂F₁|²，
即為20+80=4c²，解得c=5，
由b²=a²-c²，可得b=2$\sqrt{5}$．
即有橢圓的方程為$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和勾股定理的運用，以及a，b，c的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎題．