Question

11．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)M橢圓C上任意一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，則λ+μ的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a²=3b²．求得右焦點(diǎn)坐標(biāo)，及AB的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量$\overrightarrow{OM}$，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$成立．由此入手能夠求出λ+μ的范圍．

解答 解：設(shè)橢圓的焦距為2c，因?yàn)?\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以有$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$b，0），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：y=x-$\sqrt{2}$b②
由①，②有：4x²-6$\sqrt{2}$bx+3b²=0③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
顯然$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，
對(duì)于這一平面內(nèi)的向量$\overrightarrow{OM}$，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$成立．
設(shè)M（x，y），即有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又點(diǎn)在橢圓C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²
整理為λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}b}{2}$，x₁x₂=$\frac{3^{2}}{4}$．
所以x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-$\sqrt{2}$b）（x₂-$\sqrt{2}$b）
=4x₁x₂-3$\sqrt{2}$b（x₁+x₂）+6b²=3b²+6b²-9b²=0⑤
又A﹑B在橢圓上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．（$\frac{λ+μ}{2}$）²≤$\frac{{λ}^{2}+{μ}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故有-$\sqrt{2}$≤λ+μ≤$\sqrt{2}$．
故答案為：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．