Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax，a是常數(shù)．
（Ⅰ）若a=1，且曲線y=f（x）的切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），求該切線的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=ex﹣x，f′（x）=ex﹣1，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是（m，em﹣m），
則k=f′（m）=em﹣1，
故切線方程是：
y﹣（em﹣m）=（em﹣1）（x﹣m）
由0﹣（em﹣m）=（em﹣1）（0﹣m），得m=1，
所求切線為：y=（e﹣1）x
（Ⅱ）f′（x）=ex﹣a，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=lna
情形一：a＞0時(shí)，若x＜lna，則f′（x）＜0；若x＞lna，則f′（x）＞0．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，lna）單調(diào)遞減，在區(qū)間（lna，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（lna）=a（1﹣lna）
①0＜a＜e時(shí)，f（lna）=a（1﹣lna）＞0，f（x）無零點(diǎn)
②a=e時(shí)，f（lna）=a（1﹣lna）=0，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)
③a＞e時(shí)，f（lna）=a（1﹣lna）＜0，根據(jù)f（0）=1＞0與函數(shù)的單調(diào)性，
f（x）在區(qū)間（﹣∞，lna）和（lna，+∞）各有一個(gè)零點(diǎn)，f（x）共有兩個(gè)零點(diǎn)
情形二：a=0時(shí)，f（x）=ex ， f（x）無零點(diǎn)
情形三：a＜0時(shí)，由f（x）=0得，ex=ax，
故曲線y=ex與y=ax只有一個(gè)交點(diǎn)，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，0≤a＜e時(shí)，f（x）無零點(diǎn)；
a＜0或a=e時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
a＞e時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示出切線方程，求出m的值，從而求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．