Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在極值，對于任意的0＜x1＜x2 ， 存在正實數(shù)x0 ， 使得f（x1）﹣f（x2）=f'（x0）（x1﹣x2），試判斷x1+x2與2x0的大小關(guān)系并給出證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）= ﹣ax+（4﹣a）=﹣ ，
當(dāng)a≤0時，則f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，則由f′（x）=0得，x= ，x=﹣1（舍去）；
當(dāng)x∈（0， ）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0；
所以f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時，f（x）存在極值．
f（x1）﹣f（x2）=4（lnx1﹣lnx2）﹣ a（x1+x2）（x1﹣x2）+（4﹣a）（x1﹣x2），
由題設(shè)得f′（x0）= = ﹣ a（x1+x2）+（4﹣a），
又f′（ ）= ﹣a +4﹣a，
所以f′（x0）﹣f′（ ）= ，
設(shè)t= ，則t＞1，則 =lnt﹣ （t＞1），
令g（t）=lnt﹣ （t＞1），則g′（t）= ＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（t）＞g（1）=0，故 ＞0，
又因為x2﹣x1＞0，因此f′（x0）﹣f′（ ）＞0，即f′（ ）＜f′（x0），
又由f′（x） ﹣ax+（4﹣a）知f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以 ＞x0 ， 即x1+x2＞2x0
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）分別計算f′（x0）和f′（ ），作差得到f′（x0）﹣f′（ ）= ，設(shè)t= ，則t＞1，得到關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．