Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．
（Ⅰ）求圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，3）與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．
（Ⅱ）根據(jù)已知設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上，
故可設(shè)圓心C（a，2a），半徑為r．
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-2a）²=r²．
∵圓C經(jīng)過(guò)A（3，2）、B（1，6），
∴

(3-a)2+(2-2a)2=r2 (1-a)2+(6-2a)2=r2

．
解得a=2，r=

5

．
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（x-2）²+（y-4）²=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C的圓心為C（2，4），半徑r=

5

．
直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，3），
①若直線斜率不存在，
則直線l：x=-1．
圓心C（2，4）到直線l的距離為
d=3＜r=

5

，故直線與圓相交，不符合題意．
②若直線斜率存在，設(shè)斜率為k，
則直線l：y-3=k（x+1），
即kx-y+k+3=0．
圓心C（2，4）到直線l的距離為
d=

|2k-4+k+3|

1+k2

=

|3k-1|

1+k2

．
∵直線與圓相切，
∴d=r，即

|3k-1|

1+k2

=

5

．
∴（3k-1）²=5+5k²，
解得k=2或k=-

1

2

．
∴直線l的方程為2x-y+5=0或x+2y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．