Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

Ⅰ當時，恒成立，求a的取值范圍；

Ⅱ設是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)任取個數(shù)，，，，，設，令，，如果存在一個常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上的具有性質(zhì)P.試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P？若具有性質(zhì)P，請求出M的最小值；若不具有性質(zhì)P，請說明理由．注：

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ具有，最小值為3

【解析】

Ⅰ當時，恒成立，可轉(zhuǎn)化為恒成立，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決；

Ⅱ先研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，然后對內(nèi)的任意一個取數(shù)方法，根據(jù)性質(zhì)P的定義分兩種情況討論即可：①存在某一個整數(shù)2，3，，，使得時，②當對于任意的1，2，3，，，時，，利用函數(shù)的單調(diào)性去絕對值，化簡，求的最小值.

Ⅰ當時，恒成立，即時，恒成立，

因為，所以恒成立，即在區(qū)間上恒成立，

所以，即，

所以即a的取值范圍是．

Ⅱ由已知，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

對于內(nèi)的任意一個取數(shù)方法，

當存在某一個整數(shù)2，3，，，使得時，

．

當對于任意的1，2，3，，，時，則存在一個實數(shù)k使得，

此時

，

當時，式，

當時，式，

當時，式．

綜上，對于內(nèi)的任意一個取數(shù)方法，均有．

所以存在常數(shù)，使恒成立，

所以函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．

此時M的最小值為3．