Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）
（1）若c＞0，f（x）圖象與x軸有兩個不同的公共點，且f（c）=0，并且但0＜x＜c時，f（x）＞0試比較$\frac{1}{a}$與c的大小，并說明理由
（2）若x∈[-2，-1]且函數(shù)f（x）在x=-1處取得最大值0，求$\frac{^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意得c、$\frac{1}{a}$是方程f（x）=0的兩個根，欲比較$\frac{1}{a}$與c的大小，利用反證法去證明$\frac{1}{a}$＜c不可能，從而得到$\frac{1}{a}$＞c；
（2）由題意求出$\frac{c}{a}$≥2，$\frac{^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$≥$\frac{5}{2}$．問題得以解決．

解答 解：（1）∵f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴f（x）=0有兩個不同的實數(shù)根x₁，x₂．
∵f（c）=0，∴c是方程f（x）=0的一個根，
不妨設(shè)x₁=c，
∵x₁x₂=$\frac{c}{a}$，∴x₂=$\frac{1}{a}$（$\frac{1}{a}$≠c），
假設(shè)$\frac{1}{a}$＜c，又$\frac{1}{a}$＞0，由0＜x＜c時，f（x）＞0，
得f（$\frac{1}{a}$）＞0，與已知f（$\frac{1}{a}$）=0矛盾，
∴$\frac{1}{a}$＞c．
（2）∵函數(shù)f（x）在x=-1處取得最大值0，則f（-1）=a-b+c=0可知b=a+c，-$\frac{2a}$≤-$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{a+c}{2a}$≤-$\frac{3}{2}$，
解得$\frac{c}{a}$≥2，
∴$\frac{^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac}{a（a+c）-{a}^{2}}$=$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$≥$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{^{2}-2ac}{ab-{a}^{2}}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了利用反證法證明不等式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．