Question

18．已知x、y為正實數(shù)，且2x+y=1，則$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為$2\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 x、y為正實數(shù)，且2x+y=1，變形x=$\frac{1-y}{2}$＞0，解得0＜y＜1．可得$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f（y），再利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵x、y為正實數(shù)，且2x+y=1，
∴x=$\frac{1-y}{2}$＞0，解得0＜y＜1．
∴$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f（y），
f′（y）=$\frac{2}{（1-y）^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=$\frac{{y}^{2}+2y-1}{（y-{y}^{2}）^{2}}$=$\frac{（y+1+\sqrt{2}）[y-（\sqrt{2}-1）]}{（y-{y}^{2}）^{2}}$，
可知：當y=$\sqrt{2}$-1時，函數(shù)f（y）取得極小值即最小值，
$f（\sqrt{2}-1）$=$2\sqrt{2}+1$．
故答案為：$2\sqrt{2}+1$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．