Question

4．已知冪函數(shù)f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{2+2t-{t}^{2}}$是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）-4$\sqrt{f（x）}$，x∈[1，4]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數(shù)的定義，求出t，再進行驗證，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用換元法，結合配方法，即可求g（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{2+2t-{t}^{2}}$是冪函數(shù)，
∴t³-t+1=1，解得t=0，1，-1┉（2分）
當t=0時，f（x）=x²是偶函數(shù)，不合題意；
當t=-1時，f（x）=x^-1是奇函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，不合題意；
當t=1時，f（x）=x³是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）=x³．┉┉┉（6分）
（2）g（x）=x³-4$\sqrt{{x}^{3}}$，x∈[1，4]．
令t=$\sqrt{{x}^{3}}$，則t∈[1，8]．┉┉┉（8分）
G（t）=t²-4t，t∈[1，8]．
對稱軸：t=2，G（2）=-4，G（8）=32．
∴G（t）∈[-4，32]，∴g（x）的值域[-4，32]┉┉┉（12分）

點評 本題考查冪函數(shù)的定義，g（x）的值域，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．