Question

14．已知$\overrightarrow m=（2cosx，1）$，$\overrightarrow n=（cosx，sin2x+a）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當$x∈[0，\frac{3π}{8}]$時，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，且在此范圍內，關于x的方程f（x）=k恰有2個解，確定a的值，并求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)量積的坐標計算公式，輔助角公式化簡函數(shù)式，再求最小正周期和單調區(qū)間；
（2）根據自變量的范圍得出函數(shù)的最值，求出a，再結合函數(shù)圖象求k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+1，
該函數(shù)的最小正周期為：π，
令2x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]；
所以，f（x）的單調增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）；
（2）當x∈[0，$\frac{3π}{8}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，
此時，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
所以，f（x）_max=$\sqrt{2}$+a+1=$\sqrt{2}$，解得a=-1，
因此，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
要使f（x）=k在x∈[0，$\frac{3π}{8}$]內恰有兩解，
結合正弦函數(shù)圖象知，k∈[f（0），f（$\frac{π}{8}$）），即k∈[1，$\sqrt{2}$），
故實數(shù)k的取值范圍為[1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查了向量的數(shù)量積，三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質，以及運用函數(shù)圖象解決根的個數(shù)問題，屬于中檔題．