Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x+1}$．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最值；
（2）若關(guān)于x的方程（x+1）f（x）-ax=0在區(qū)間（1，4）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法令t=x+1，t∈[1，3]，從而化為y=t+$\frac{4}{t}$-2，從而求閉區(qū)間上的最值；
（2）當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，可化方程為a=$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=x+$\frac{3}{x}$，從而作函數(shù)y=x+$\frac{3}{x}$在（1，4）上的圖象，結(jié)合圖象求解即可．

解答 解：（1）令t=x+1，t∈[1，3]，
則x=t-1，
故y=f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-2，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
函數(shù)y=g（t）=t+$\frac{4}{t}$-2在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增；
且g（1）=1+4-2=3，g（2）=2+2-2=2，g（3）=3+$\frac{4}{3}$-2=$\frac{7}{3}$，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為2，最大值為3；
（2）當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，
∵（x+1）f（x）-ax=0，
∴（x²+3）-ax=0，
故a=$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=x+$\frac{3}{x}$，
作函數(shù)y=x+$\frac{3}{x}$在（1，4）上的圖象如下，
，
其中y_min=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，y|_x=1=1+3=4，y|_x=4=4+$\frac{3}{4}$＞4，
故結(jié)合圖象可知，當(dāng)2$\sqrt{3}$＜a＜4時(shí)，
關(guān)于x的方程（x+1）f（x）-ax=0在區(qū)間（1，4）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為2$\sqrt{3}$＜a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值的求法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．