Question

已知函數(shù)f（x）=(2n-n2)x2n2-n，(n∈N*)在（0，+∞）是增函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=

f2(x)+m2

f(x)

(m＞0)，試判斷g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用函數(shù)在（0，+∞）是增函數(shù)，可建立不等式組，從而可求n的值，進(jìn)而可求f（x）的解析式；
（2）先表達(dá)出g（x），再利用定義判斷并證明函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性

解答： 解：由題意（1）

2n-n2＞0 2n2-n＞0

或

2n-n2＜0 2n2-n＜0

⇒

1

2

＜n＜2或∅；
∵n∈N^*∴n=1⇒f（x）=x；
（2）g(x)=

x2+m2

x

=x+

m2

x

設(shè)0＜x₁＜x₂，則g(x1)-g(x2)=…=

x1-x2

x1x2

(x1x2-m2)；
若0＜x₁＜x₂≤m，則x₁x₂＜m²；若m≤x₁＜x₂，則x₁x₂＞m²；而x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤m時(shí)，g（x₁）＞g（x₂）；當(dāng)m≤x₁＜x₂時(shí)，g（x₁）＜g（x₂）
因此，g（x）在（0，m]上單調(diào)遞減；g（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增；

點(diǎn)評：本題以具體函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解與運(yùn)用單調(diào)性的定義．