【題目】已知數(shù)集(,)具有性質(zhì)P;對任意的i,j(),與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(2)證明:,且;
(3)當(dāng)時(shí),若,求集合A.
【答案】(1) 數(shù)集不具有性質(zhì)P. 數(shù)集,具有性質(zhì)P.見解析 (2)見解析 (3)
【解析】
(1)根據(jù)性質(zhì)P;對任意的i,j(),與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,驗(yàn)證給的集合集與中的任何兩個(gè)元素的積商是否為該集合中的元素;
(2)由性質(zhì)P,知,故,
從而,.再驗(yàn)證又由于
,,,…,,
從而,命題得證;
(3)根據(jù)(2),只要證明即可求得集合A.
解:(1)由于,與或均不屬于數(shù)集,
∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.
由于,,,,,,,,,都屬于數(shù)集,
∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.
(2)證明:∵具有性質(zhì)P,
∴與中至少有一個(gè)屬于A,
由于,∴
故.
從而,.
∵,,∴(),
故().
由A具有性質(zhì)P可知().
又∵,,,…,,
從而,
∴;
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),
有,,即,
∵,∴,
∴,
由A具有性質(zhì)P可知.
由,得,
∴,
∴
即,,,,是首項(xiàng)為1,公比為等比數(shù)列,
即有集合.
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