Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x+1）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系；
（Ⅱ）若動圓C同時平分圓C₁的周長、圓C₂的周長，則動圓C是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）求出兩圓的圓心距離，即可判斷圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系；
（Ⅱ）根據(jù)圓C同時平方圓周，建立條件方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）C₁：（x+1）²+y²=1的圓心為（-1，0），半徑r=1，圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心為（3，4），半徑R=1，
則|C₁C₂|=

(-1-3)2+42

=

32

=4

2

＞1+1，
∴圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系是相離．
（Ⅱ）設(shè)圓心C（x，y），由題意得CC₁=CC₂，
即

(x+1)2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2

，
整理得x+y-3=0，
即圓心C在定直線x+y-3=0上運動．
設(shè)C（m，3-m），
則動圓的半徑

1+(CC1)2

=

1+(m+1)2+(3-m)2

，
于是動圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理得：x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

，
解得

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

或

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

，
即所求的定點坐標為（1-

3 2

2

，2-

3 2

2

），（1+

3 2

2

，2+

3 2

2

）．

點評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，以及與圓有關(guān)的綜合應用，考查學生的計算能力．