Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=

lnx

x

，其中e是自然常數(shù)，a∈R
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅲ）求證

ln2

23

+

ln3

33

+…+

lnn

n3

＜

1

e

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②a＞0時(shí)的情況；
（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)在a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，再分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)的情況；
（Ⅲ）g′（x）=

1-lnx

x2

=0，則 g（x）_max=g（e）=

1

e

，有

lnx

n3

≤

1

en2

，從而有

ln2

23

+

ln3

33

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（1-

1

n

）＜

1

e

．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），
當(dāng)a＞0時(shí)，x=

1

a

，
（1）當(dāng)

1

a

≤e時(shí)，即a≥

1

e

 時(shí)，
f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

a

），
f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

a

，e），
（2）當(dāng)

1

a

＞e時(shí)，即 a＜

1

e

 時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），無(wú)增區(qū)間；      
（Ⅱ）設(shè)存在實(shí)在a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=2，
則a=

3

e

（舍去）所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=2，
則a=e，滿足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
則a=

3

e

（舍去），所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值2．
（Ⅲ）g′（x）=

1-lnx

x2

=0，所以g（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞），
g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為  （0，e），
則 g（x）_max=g（e）=

1

e

 
所以

lnx

x

≤

1

e

，
則有

lnx

n3

≤

1

en2

，
∴

lnx

n3

＜

1

e

1

n(n-1)

=

1

e

（

1

n-1

-

1

n

），（n≥2），
則

lnx

23

＜

1

e

（1-

1

2

），

lnx

33

＜

1

e

（

1

2

-

1

3

），…

lnx

n3

＜

1

e

（

1

n-1

-

1

n

），（n≥2），
∴

ln2

23

+

ln3

33

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（1-

1

n

）＜

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式 的證明，是一道綜合題．