Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞D）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求a、b的值；
（2）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞P轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程為y=x-c，則$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b²=a²-c²，解得a，b即可得出．
（2）由（1）可得：橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞P轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為my=x-1，與橢圓方程聯(lián)立化為（2m²+3）y²+4my-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（用m表示），代入橢圓的方程即可得出．

解答 解：（1）直線l的方程為y=x-c，則$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b²=a²-c²，解得$a=\sqrt{3}$，b²=2．
∴得$a=\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可得：橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞P轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為my=x-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
化為（2m²+3）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=$\frac{6}{2{m}^{2}+3}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=$（\frac{6}{2{m}^{2}+3}，\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}）$．
代入橢圓方程可得：$\frac{36}{3（2{m}^{2}+3）^{2}}$+$\frac{16{m}^{2}}{2（2{m}^{2}+3）^{2}}$=1，
化為2m²-1=0，
解得m=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴直線l的方程為：y=$±\sqrt{2}$（x-1）．
由方程：${y}^{2}±\sqrt{2}y$-1=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$．
因此假設(shè)正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．