Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0），f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）將f（x）的圖象上所有點(diǎn)向左平移m（m＞0）個(gè)長度單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），當(dāng)m取得最小值時(shí)，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由題意可求周期T=$\frac{π}{2}$，由周期公式可求ω，從而可得函數(shù)解析式，進(jìn)而得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=2sin（4x+4m-$\frac{π}{6}$），由題意可得4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），可得：m=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{8}$，可求m的最小值，由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx
=-（cos²ωx-sin²ωx）+$\sqrt{3}$sin2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
∵f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．
∴周期T=$\frac{π}{2}$，由$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，可得ω=2．
∴f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=2sin（4×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=1…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），則g（x）=2sin（4x+4m-$\frac{π}{6}$），
∵（$\frac{π}{6}$，0）為y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴2sin（4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$）=0，解得：4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），可得：m=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{8}$，
當(dāng)k=1時(shí)，m取得最小值$\frac{π}{8}$…10分本題
此時(shí)g（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{5π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$]，k∈Z…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．