【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍,并證明:.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ),見解析

【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)后,分討論即可;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,有兩個零點,必須有且最小值,即可得到,因為有兩個零點,不妨設(shè),則,即,要證:,即證:,即證:,令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得證;

解:(Ⅰ)

當(dāng)時,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,當(dāng)時,,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,,上單調(diào)遞減.

綜上可知,當(dāng)時,上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,有兩個零點

必須有且最小值,

,∴,

又∵當(dāng)時,;當(dāng)時,,

,有兩個零點,不妨設(shè),∴,

此時,

,,

,

要證:,即證:

即證:,即證:,即證:,

,∴,

即證:,即證:,

,當(dāng)僅當(dāng)

上為增函數(shù),∴,

成立,

成立.

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