Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）討論單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導后，討論、、時、的解集即可得解；

（Ⅱ）設切點為，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，由題意，，令，求導后求得的最小值即可得解.

（Ⅰ）由題意，

則，

令，

①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，，

若即，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若即，令可得，

所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

③當時，，

令可得，，

所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）由題意，設切點為，

則，切線方程為，

即，

所以，，，

令，則，

令，則，

所以當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

所以即的最小值為.