Question

給出下列命題：
①“m=3”是“直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直”的充要條件；
②向量

a

，

b

均為非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，則向量

a

與

b

的夾角為

π

3

；
③若直線a，b與平面α，β滿足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，則α∥β；
④命題p：“?k∈R，直線kx+2y-3=0與圓x²+y²=4都相交”，則￢p為假命題．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①m=0時，兩條直線的方程分別化為：3x-2=0，-6y+5=0，此時兩條直線相互垂直；當(dāng)m≠0時，若直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直，
則-

m+3

m

×

m

6

=-1，解得m=3．即可判斷出．
②向量

a

，

b

均為非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，則|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2 a 2+2| a |2cos＜ a ， b ＞

=|

a

|，解得cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，即可點到向量

a

與

b

的夾角；
③若直線a，b與平面α，β滿足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，則α與β不一定平行；
④若直線kx+2y-3=0與圓x²+y²=4相交，則

3

k2+4

＜2，此式對于?k∈R都成立．即可判斷出命題p正確．

解答： 解：①m=0時，兩條直線的方程分別化為：3x-2=0，-6y+5=0，此時兩條直線相互垂直，
當(dāng)m≠0時，若直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直，則-

m+3

m

×

m

6

=-1，解得m=3．
因此“m=3”是“直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直”的充分但不必要條件，因此不正確；
②向量

a

，

b

均為非零向量，若|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，則|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2 a 2+2| a |2cos＜ a ， b ＞

=|

a

|，
化為cos＜

a

，

b

＞=-

1

2

，向量

a

與

b

的夾角為

2π

3

，因此不正確；
③若直線a，b與平面α，β滿足a?α，b?β，且a∥β，b∥α，則α與β不一定平行，因此不正確；
④若直線kx+2y-3=0與圓x²+y²=4相交，則

3

k2+4

＜2，此式對于?k∈R都成立．
因此命題p：“?k∈R，直線kx+2y-3=0與圓x²+y²=4都相交”正確，則￢p為假命題正確．
綜上可得：只有④正確．
故選：B．

點評：本題綜合考查了兩條直線相互垂直的充要條件、向量的夾角公式、兩個平面平行的判定定理、直線與圓相交的充要條件、簡易邏輯的有關(guān)知識等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．