Question

已知a＞0，設命題p：函數(shù)f（x）=sin2x-2

3

cos²x+

3

+2-a＞0在x∈[

π

4

，

π

2

]時恒成立；命題q：方程4^x-a•2^x+1+1=0有解，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：計算題

分析：分別求得命題p、q為真時a的取值范圍，再根據(jù)復合命題真值表得：若“p或q”為真命題，“p且q”是假命題，則命題p、q一真一假，分p真q假，q真p假，求出a的范圍，再綜合．

解答： 解：∵x∈[

π

4

，

π

2

]，2x∈[

π

2

，π]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）≥

1

2

∴sin2x-

3

cos2x+2=2sin(2x-

π

3

)+2≥3，
a＜sin2x-

3

cos2x+2在x∈[

π

4

，

π

2

]時恒成立
∴命題p為真時：p：0＜a＜3                                         
由方程4^x-a•2^x+1+1=0有解得2a=2x+

1

2x

，令t=2^x
得2a=t+

1

t

在t∈（0，+∞）上有解，
∵t∈（0，+∞）時，t+

1

t

≥2，
∴2a≥2，a≥1．
∴命題q為真時：a≥1
（1）若p真q假時，0＜a＜1；
（2）若q真p假時，a≥3；
綜上：0＜a＜1或a≥3．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了三角函數(shù)的值域及基本不等式的應用，本題的關鍵是求命題p、q為真時a的范圍．