Question

已知為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。記直線的斜率．

（1）同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，不斷增大，試問(wèn)：他的判斷是否正確?若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不正確，請(qǐng)給出你的判斷；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，；

（3）同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)、，使．試問(wèn)：他的判斷是否正確?

Answer 1

 （1）同學(xué)甲的判斷不正確

依題意，=，，

當(dāng)時(shí)，>0；當(dāng)時(shí)，<0

所以，在上遞增，在上遞減                               

（2）（法一）,記，

，

所以在（1，+）上為減函數(shù)，則，

所以，即                                    

   （法二）要證<,即要證（*）

記=，有，且，

記，有

當(dāng)時(shí)，，在（1，+）上遞減，則<,

所以<0,則在（1，+）上遞減，有<=0

即（*）式得證                                                       

（3）同學(xué)乙的判斷正確

，且，又由（2）

當(dāng)時(shí)，，則的圖象如右圖所示

所以總存在正實(shí)數(shù)且，使得即

，也即為，此時(shí)