Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，∠A=2∠B，則$\frac{c}$-$\frac{a}$的取值范圍是（-1，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 由條件結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，可得B∈（0，$\frac{π}{3}$），即有cosB∈（$\frac{1}{2}$，1），再由正弦定理和二倍角公式化簡整理，再令cosB=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），則有y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1，運用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍．

解答 解：由∠A=2∠B，可得
C=π-A-B=π-3B，
由A，B，C∈（0，π），可得
B∈（0，$\frac{π}{3}$），即有cosB∈（$\frac{1}{2}$，1），
由∠A=2∠B，可得
sinA=sin2B=2sinBcosB，
則有$\frac{c}$-$\frac{a}$=$\frac{sinC}{sinB}$-$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3B}{sinB}$-$\frac{sinB}{2sinBcosB}$
=3-4sin²B-$\frac{1}{2cosB}$
=4cos²B-$\frac{1}{2cosB}$-1，
令cosB=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
則有y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1，
由y′=8t+$\frac{1}{2{t}^{2}}$＞0，可得
y=4t²-$\frac{1}{2t}$-1在（$\frac{1}{2}$，1）遞增，
即有-1＜y＜$\frac{5}{2}$．
故答案為：（-1，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的運用，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．