13.設(shè)P為直線(xiàn)l1:x-2y+4=0與直線(xiàn)l:2x-y-4=0的交點(diǎn),圓C:x2+y2-4x-4y+7=0,l0為過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線(xiàn),
(1)若k=$\frac{3}{2}$,l0與圓C交于A,B兩點(diǎn),求|AB|;
(2)k為何值時(shí),l0與圓C相切?設(shè)切點(diǎn)分別為M,N,求cos∠MPN.

分析 (1)聯(lián)立直線(xiàn)方程可解得P(4,4)可得l0的方程,又可得圓C的圓心為(2,2),半徑為1,可得圓心C到直線(xiàn)l0的距離d,由勾股定理可得;
(2)由相切可得k的方程,解方程可得k值,由三角函數(shù)的定義可得sin∠MPC,由二倍角公式可得cos∠MPN.

解答 解:(1)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$可解得P(4,4),
當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時(shí),l0的方程為y-4=$\frac{3}{2}$(x-4),即3x-2y-4=0,
配方可得圓C:x2+y2-4x-4y+7=0的方程為(x-2)2+(y-2)2=1,
故圓C的圓心為(2,2),半徑為1,
∴圓心C到直線(xiàn)l0的距離d=$\frac{|3×2-2×2-4|}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$,
∴|AB|=2$\sqrt{{1}^{2}-(\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$;
(2)l0的方程為y-4=k(x-4),即kx-y+4-4k=0,
由相切可得圓心C到直線(xiàn)l0的距離d=$\frac{|2k-2+4-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,
平方并整理可得3k2-8k+3=0,解得k=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$,
∵sin∠MPC=$\frac{MC}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{(4-2)^{2}+(4-2)^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$,
∴cos∠MPN=cos2∠MPC=1-2sin2∠MPC=1-2×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線(xiàn)方程,涉及圓的弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及二倍角的余弦公式,屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.命題p:不等式ax2-2ax+1>0的解集為R,命題q:不等式$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx+$\frac{1}{4}$cosx-a<0恒成立,若“p∧q”為假命題且“p∨q”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

4.已知$f(x)=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{2x}$,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.[-1,0)∪(0,1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.AB是過(guò)橢圓b2x2+a2y2=a2b2的中心弦,F(xiàn)(c,0)為它的右焦點(diǎn),則△FAB面積的最大值是bc.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

8.已知某三棱錐的三視圖是如圖所示的三個(gè)直角三角形,那么這個(gè)三棱錐最小的一個(gè)表面的面積是6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.不等式x2+mx+n<0的解集為{x|-1<x<2},則m,n的值分別為( 。
A.1,2B.1,-2C.-1,2D.-1,-2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.設(shè)z=3x+5y,其中變量x和y滿(mǎn)足條件$\left\{{\begin{array}{l}{5x+3y≤15}\\{y≤x+1{\;}^{\;}}\\{x-5y≤3}\end{array}}\right.$,求z的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.下列四個(gè)說(shuō)法:
①一個(gè)命題的逆命題為真,則它的逆否命題一定為真;
②若k>0,則方程x2+2x-k=0有實(shí)數(shù)根;
③“x>2”是“$\frac{1}{x}$<$\frac{1}{2}$”的充分不必要條件;
④設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.
其中真命題的序號(hào)是②③.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.已知數(shù)列f(x)=x4+(2-a)x2+x2(lnx)2+1,x>0,若f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,+∞)D.[4,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案