已知函數(shù)f(x)=|a-
b
x
|,a>0,b>0,x≠0,且滿(mǎn)足:函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=1有且只有一個(gè)交點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<4x-1的解集為(
1
2
,+∞)
,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)在(2)成立的條件下,是否存在m,n∈R,m<n,使得f(x)的定義域和值域均為[m,n],若存在,求出m,n的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):帶絕對(duì)值的函數(shù),特稱(chēng)命題
專(zhuān)題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)依題意,a-
b
x
=-1時(shí)方程必有一根
b
a+1
,而a-
b
x
=1無(wú)解,從而可求得a;
(2)由f(x)=|a-
1
x
|
與y=4x-1的圖象知兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為
1
2
,從而可求得b;
(3)f(x)=|1-
1
x
|
≥0,故必須滿(mǎn)足n>m>0,f(1)=0,值域[m,n]中不包括0,定義域[m,n]中不包括1,只需討論:當(dāng)0<m<n<1與1<m<n時(shí),由f(x)在[m,n]上的單調(diào)性即可求得答案.
解答: 解:(1)a-
b
x
=1或a-
b
x
=-1,因?yàn)閍>0,b>0,所以a-
b
x
=-1時(shí)方程必有一根
b
a+1
,
因此a-
b
x
=1無(wú)解,a=1…4分
(2)由f(x)=|a-
b
x
|
與y=4x-1的圖象知兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為
1
2


代入y=4x-1,得交點(diǎn)為(
1
2
,1)代入f(x)=|a-
b
x
|
知b=1…9分.
(3)∵f(x)=|1-
1
x
|
≥0,故必須滿(mǎn)足n>m>0,
又f(1)=0,值域[m,n]中不包括0,所以定義域[m,n]中不包括1,只需討論:
當(dāng)0<m<n<1時(shí),f(x)=
1
x
-1在[m,n]上遞減,作差得:
1
m
-
1
n
=n-m,mn=1不成立;
當(dāng)1<m<n時(shí),f(x)=1-
1
x
在[m,n]上遞增,1-
1
m
=m,1-
1
n
=n,
作差得:
1
n
-
1
m
=m-n,mn=1,不成立.
綜上,不存在m,n∈R,m<n滿(mǎn)意…14分
點(diǎn)評(píng):本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù),著重考查數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的綜合運(yùn)用,考查創(chuàng)新能力與抽象思維能力,屬于難題.
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在邊長(zhǎng)為a的正△ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=
1
2
a,這時(shí)二面角B-AD-C的大小為( 。
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖為正方形,俯視圖為半圓,側(cè)視圖為矩形,則其表面積為
 

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(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
在極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C1和C2的參數(shù)方程分別為sinθ+cosθ=
3
ρ
,ρ=2cosθ
,若點(diǎn)P(x,y)為C2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中圖形上一點(diǎn),點(diǎn)A為C1對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中圖形上一點(diǎn),則|PA|最小值=
 

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(1+2
x
3(1-
3x
5的展開(kāi)式中x的系數(shù)是
 

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已知A={x|x2-5x+4=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-mx+4=0},若A∪B=A,A∩C=C,求實(shí)數(shù)a,m的值.

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如圖所示,點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上,且BC=3CD,則
AD
=( 。
A、3
AC
-2
AB
B、4
AC
-3
AB
C、
4
3
AC
-
1
3
AB
D、
1
3
AC
-
2
3
AB

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已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中有
20a41a42a43a60
=
100a1a2a3a100
,則在等差數(shù)列{bn}中,類(lèi)似的結(jié)論有
 

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