Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，首項a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若從數(shù)列{a_n}中抽出部分項：a₁，a₂，a₄，…，a 2n-1，…構成一個新的數(shù)列{a 2n-1}，n∈N^*，證明：數(shù)列{a 2n-1}，n∈N^*為等比數(shù)列；
（3）求和：a₁+a₂+a₄+…+a 2n-1（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由（1）可知：a_n=n，可得a2n-1=2n-1(n∈N*)，利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（3）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）解：設公差為d，則d≠0，
又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，則有a22=a1a4，又首項a₁=1，
∴（1+d）²=1×（1+3d）
化簡得：d²-d=0，又d≠0，解得：d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即：a_n=n．
（2）證明：由（1）可知：a_n=n，∴a2n-1=2n-1(n∈N*)，
∴

a2n-1

a2n-2

=

2n-1

2n-2

=2
∴數(shù)列{a2n-1}，n∈N*為等比數(shù)列．
（3）解：由（2）可知：數(shù)列{a2n-1}，n∈N*為等比數(shù)列，
∴a1+a2+a4+…+a2n-1=1+2+4+…+2n-1=

1×(1-2n)

1-2

=2n-1
即：a1+a2+a4+…+a2n-1=2n-1．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式及其的前n項和公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．