Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=n•a_n+log 

1

2

a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式（n-1）（S_n+2）-T_n＜t+

19

32

n² 對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1可求a₁=2，當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1可得遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，得到通項公式；
（2）由（1）可求b_n，利用分組求和及錯位相減法可求T_n，由（1）可得S_n，代入不等式，分離出t后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可；

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）得，bn=n•2n+log

1

2

2n=n•2ⁿ-n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n），
令Rn=2+2•22+3•23+…+n•2ⁿ，
則2Rn=22+2•23+3•24+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-Rn=2+22+23+…+2n-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Rn=(n-1)2n+1+2，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

，
又由（1）得，S_n=2a_n-2=2ⁿ⁺¹-2，
不等式（n-1）（S_n+2）-T_n＜t+

19

32

n² 即為（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

＜t+

19

32

n2，即為t＞-

3

32

n2+

1

2

n-2對任意n∈N^*恒成立，
設f（n）=-

3

32

n2+

1

2

n-2，則f（n）=-

3

32

(n-

8

3

)2-

4

3

，
∵n∈N^*，∴f（n）_max=f（3）=-

43

32

，
故實數(shù)t的取值范圍是（-

43

32

，+∞）．

點評：該題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，考查學生的運算求解能力、推理論證能力，錯位相減法是數(shù)列求和的常用方法，要熟練．