Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，且|MF|=2p，則雙曲線的漸近線的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，且|MF|=2p，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），其準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)
∴a=

p

2

，
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個交點(diǎn)，且|MF|=2p，
∴M的橫坐標(biāo)為

3p

2

，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±

3

p，
將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得

( 3 2 p)2

( p 2 )2

-

3p2

b2

=1，∴b2=

3

8

p2，
即b=

6

4

p，
∵雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
∴漸近線方程為y=±

6 4 p

p 2

x=±

6

2

x，
故答案為：y=±

6

2

x

點(diǎn)評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵