Question

4．如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，CC₁=$\sqrt{3}$．
（1）求證：A₁B₁∥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-C₁的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)棱柱的定義便知，兩底面平行，從而便可得出A₁B₁∥平面ABC；
（2）可先找出二面角C-AB-C₁的平面角：容易發(fā)現(xiàn)取AB的中點D，連接CD，C₁D，這樣根據(jù)該三棱柱為正三棱柱及二面角平面角的定義即可得出∠CDC₁便是要找的二面角的平面角，而容易看出△CC₁D為直角三角形，CD可以求出，CC₁=$\sqrt{3}$，這樣即可求出tan∠CDC₁．

解答 解：（1）證明：正三棱柱的兩底面互相平行，即平面A₁B₁C₁∥平面ABC；
又A₁B₁?平面A₁B₁C₁；
∴A₁B₁∥平面ABC；
（2）如圖，取AB的中點D，連接CD，C₁D；
∵AC=BC，AC₁=BC₁；
∴CD⊥AB，C₁D⊥AB；
∴∠C₁DC為二面角C-AB-C₁的平面角；
根據(jù)題意，△ABC為等邊三角形，邊長為1，∴$CD=1•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
CC₁⊥底面ABC，CD?底面ABC；
∴CC₁⊥CD；
又$C{C}_{1}=\sqrt{3}$；
∴在Rt△C₁CD中，tan$∠{C}_{1}DC=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$；
即二面角C-AB-C₁的大小的正切值為2．

點評 考查棱柱的定義，正三棱柱的定義，以及二面角及二面角的平面角的定義及求法，線面垂直的性質(zhì)，正切函數(shù)的定義．