【題目】某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發(fā)育情況,從本市全體高一學生中隨機抽取了100人的身高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析。經數(shù)據(jù)處理后,得到了如下圖1所示的頻事分布直方圖,并發(fā)現(xiàn)這100名學生中,身不低于1.69米的學生只有16名,其身高莖葉圖如下圖2所示,用樣本的身高頻率估計該市高一學生的身高概率.
(I)求該市高一學生身高高于1.70米的概率,并求圖1中的值.
(II)若從該市高一學生中隨機選取3名學生,記為身高在的學生人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果該市高一學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,則認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.試判斷該市高一學生的身高發(fā)育總體是否正常,并說明理由.
【答案】(I) 見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ) 見解析.
【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人數(shù),再利用概率公式求這批學生的身高高于1.70 的概率.分別利用面積相等求出a、b、c的值. (II)先求出從這批學生中隨機選取1名,身高在的概率,再利用二項分布寫出的分布列和數(shù)學期望. (Ⅲ)先分別計算出和,再看是否滿足且,給出判斷.
詳解: (I)由圖2 可知,100名樣本學生中身高高于1.70米共有15 名,以樣本的頻率估計總體的概率,可得這批學生的身高高于1.70 的概率為0.15.
記為學生的身高,結合圖1可得:
,
,
,
又由于組距為0.1,所以,
(Ⅱ)以樣本的頻率估計總體的概率,
可得: 從這批學生中隨機選取1名,身高在的概率
.
因為從這批學生中隨機選取3 名,相當于三次重復獨立試驗,
所以隨機變量服從二項分布,
故的分布列為:
0 | 1 | 2 | 3 | |
0.027 | 0.189 | 0.441 | 0.343 |
(或
(Ⅲ)由,取
由(Ⅱ)可知,,
又結合(I),可得:
,
所以這批學生的身高滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,應該認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓:的離心率,,分別為左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且的周長為8.
(1)求橢圓的方程;
(2)設過點的直線交橢圓于不同兩點,.為橢圓上一點,且滿足(為坐標原點),當時,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點B沿棱柱側面(經過棱AA1)到達頂點C1,與AA1的交點記為M.求:
(1)三棱柱側面展開圖的對角線長;
(2)從B經M到C1的最短路線長及此時的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列的前n項和為,已知,().
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列滿足:,.
① 求數(shù)列的通項公式;
② 是否存在正整數(shù)n,使得成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2018河北保定市上學期期末調研】已知點到點的距離比到軸的距離大1.
(I)求點的軌跡的方程;
(II)設直線: ,交軌跡于、兩點, 為坐標原點,試在軌跡的部分上求一點,使得的面積最大,并求其最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在 上的函數(shù)滿足下列兩個條件:(1)對任意的 恒有 成立;(2)當 時, ;記函數(shù) ,若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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