Question

設(shè)雙曲線

x2

4

-y2=1，F(xiàn)₁是它的左焦點(diǎn)，直線l通過(guò)它的右焦點(diǎn)F₂，且與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，則|F₁A|•|F₁B|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：

分析：分類討論．直線方程代入雙曲線方程，利用雙曲線的第二定義、第一定義，即可得出結(jié)論．

解答： 解：雙曲線的右焦點(diǎn)為F₂（

5

，0），
（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x─

5

），
代入雙曲線方程，消去y得（1─4k²）x²+8

5

k²x─20k²─4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8 5 k2

4k2-1

，x₁x₂=─

20k2+4

4k2-1

，
∴|F₁A|•|F₁B|=（

5

2

x₁+2）（

5

2

x₂+2）=

5

4

x₁x₂+

5

（x₁+x₂）+4=

81

4

+

85

4(4k2-1)

∴|F₁A|•|F₁B|＞

81

4

；
（2）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，容易算出|AF₂|=|BF₂|=

1

2

，故
∴|AF₁|=|BF₁|=2a+

1

2

=

9

2

（雙曲線的第一定義），∴|F₁A|•|F₁B|=

81

4

由（1），（2）得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)|F₁A|•|F₁B|取最小值為

81

4

．
故答案為：

81

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的第二定義、第一定義，要注意斜率不存在的情況．