Question

有以下四個命題：
①y=sin²x+

3

sin2x

的最小值是2

3

②已知f（x）=

x- 11

x- 10

，則f（4）＞f（3）
③y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函數(shù)
④函數(shù)y=2sin（2x-

π

6

）的圖象的一個對稱中心是（

π

12

，0）
其中真命題的序號是

 

 （把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：由對勾函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最小值判斷①；代值后比較大小判斷②；由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷③；代入x的值求出函數(shù)值判斷④．

解答： 解：對于①，∵sin²x∈（0，1]，由“對勾函數(shù)”的單調(diào)性知，y=sin²x+

3

sin2x

的最小值是4．
∴命題①為假命題；
對于②，f（4）=

4- 11

4- 10

，f（3）=

3- 11

3- 10

，
若f（4）＞f（3），則

4- 11

4- 10

＞

3- 11

3- 10

，即(4-

11

)(

10

-3)＞(4-

10

)(

11

-3)，
也就是

10

＞

11

，此式顯然不成立，
∴命題②為假命題；
對于③，令t=a^x+2，
∵內(nèi)層函數(shù)t=a^x+2與外層函數(shù)y=log_at具有相同的單調(diào)性，
∴y=log_a（2+a^x）（a＞0，a≠1）在R上是增函數(shù)．
命題③為真命題；
對于④，當x=

π

12

時，y=2sin（2x-

π

6

）=2sin（2×

π

12

-

π

6

）=0．
∴函數(shù)y=2sin（2x-

π

6

）的圖象的一個對稱中心是（

π

12

，0）．
命題④為真命題．
∴正確命題的序號是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，訓練了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，是中檔題．