Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1…是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a₁=1，a_n-a_n-1=3^n-1，n＞1．運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，可得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算化簡即可得到所求．

解答 解：（1）由題意可得a₁=1，a_n-a_n-1=3^n-1，n＞1．
可得a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+a_n-a_n-1=1+3+…+3^n-1，
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）；
（2）前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$[（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）]
=$\frac{1}{2}$（3+3²+…+3ⁿ-n）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n]=$\frac{{3}^{n+1}-2n-3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．