Question

7．如圖，在四面體ABCD中，△ABD，△ACD，△DBC和△ABC全等，且AB=AC=$\sqrt{3}$，BC=2；求證：平面BCD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 欲證明平面BCD⊥平面ABC，首先根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出對應(yīng)的二面角A-BC-D的平面角，求出二面角A-BC-D的大小為90°，從而得到平面BCD⊥平面ABC．

解答 證明：取BC的中點E，連結(jié)AE、DE．∵AB=AC，∴AE⊥BC．
又△ABD≌△DBC，AB=AC，
∴DB=DC，DE⊥BC．
∴∠AED為二面角ABCD的平面角．
又△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，
△DBC也是以BC為底的等腰三角形，所以AB=AC=DB=DC=$\sqrt{3}$．
又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2．
在Rt△DEB中，DB=$\sqrt{3}$，BE=1，
∴DE=$\sqrt{D{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理，AE=$\sqrt{2}$．
在△AED中，AE=DE=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴AD²+DE²=AD²，∠AED=90°，
∴二面角A-BC-D的大小為90°．
∴平面BCD⊥平面ABC．

點評 本題考查面面垂直的證明，考慮根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出相應(yīng)的平面角，而在構(gòu)造過程中，往往離不開添加垂線，利用線面垂直、面面垂直關(guān)系從而達到目的，最后問題通常轉(zhuǎn)化為解三角形．