Question

已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2．從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′，求線段PP′中點(diǎn)M的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：寫出點(diǎn)P所在圓的方程，設(shè)出M、P的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，把P的坐標(biāo)代入圓的方程后整理得線段PP′中點(diǎn)M的軌跡．

解答： 解：由題意可得已知圓的方程為x²+y²=4．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵M(jìn)是線段PP′的中點(diǎn)，
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=x₀，y=

y0

2

，
即x₀=x，y₀=2y．
∵P（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上，
∴x02+y02=4  ①
將x₀=x，y₀=2y代入方程①得
x²+4y²=4，即

x2

4

+y2=1．
∴點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用代入法求曲線方程，是中檔題．