Question

三位同學在研究函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時，分別給出下面三個結論：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個結論中正確的個數有（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：函數的值域,函數恒成立問題

專題：壓軸題,函數的性質及應用

分析：先求出f（x）為奇函數，再求出x＞0時的函數值，然后利用奇函數的性質求出f（x）的值域；由函數的單調性能判斷結論②的正誤；用數學歸納法能判斷③的正誤．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
∴f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+x

，
∴f（x）是奇函數，
x＞0時，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

∈(0，1)且f（x）單調遞增，
∴由奇函數的對稱性可知函數的值域為（-1，1），
∵函數嚴格單調，
∴當x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂）；
f2(x)=f(f1(x))=

x 1+|x|

1+ x 1+|x|

=

x

1+2|x|

，
f3(x)═

x

1+3|x|

，
假設fn(x)=

x

1+n|x|

，
用由數學歸納法證明：
①n=3時，f3(x)═

x

1+3|x|

，成立．
②假設n=k時成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

，
則當n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

，也成立，
∴fn(x)=

x

1+n|x|

．
所以三個結論都成立，
故選：D．

點評：本題考查函數的性質的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數的奇偶性、單調性的靈活運用，注意數學歸納法的合理運用．